公開日

2020/07/11

最終更新

2022/11/17

記事区分

一般公開

テンソルの形状を変更しない関数

テンソルのある要素に着目すると、それは零階のテンソルでありスカラです。Add では、内部的に NumPy の ndarray 同士の加算が行われます。バックプロパゲーションの考え方が要素毎の計算で行われるため、一般のテンソルの場合でも問題なく動作します。

#!/usr/bin/python
# -*- coding: utf-8 -*-

from autograd.variable import Variable

import numpy as np

def Main():
    x = Variable(np.array([
        [1, 2, 3],
        [4, 5, 6],
    ]))
    y = Variable(np.array([
        [10, 20, 30],
        [40, 50, 60],
    ]))
    z = x + y
    z.Backward()
    print(z)
    print(x.GetGrad())
    print(y.GetGrad())

if __name__ == '__main__':
    Main()

実行例

$ python3 main.py 
Variable([[11 22 33]
          [44 55 66]])
[[1 1 1]
 [1 1 1]]
[[1 1 1]
 [1 1 1]]

テンソルの形状を変更する関数

テンソルのある要素に着目すると、それは零階のテンソルでありスカラです。要素の値を変更せずに、順番を入れ換えるだけの関数において、バックプロパゲーションではもとの形状に戻す処理が必要になります。

#!/usr/bin/python
# -*- coding: utf-8 -*-

from autograd.variable import Variable
from autograd.function import Function

import numpy as np

def Main():
    x = Variable(np.array([
        [1, 2, 3],
        [4, 5, 6],
    ]))
    y = Reshape((6,))(x)
    y.Backward()
    print(y)
    print(x.GetGrad())

class Reshape(Function):

    def __init__(self, shape):
        self.__shape = shape  # 目標となる shape
        self.__xShape = None  # もとの shape

    def Forward(self, x):
        self.__xShape = x.shape
        y = np.reshape(x, self.__shape)
        return y

    def Backward(self, gy):
        return np.reshape(gy, self.__xShape)

if __name__ == '__main__':
    Main()

実行例

$ python3 main.py
Variable([1 2 3 4 5 6])
[[1 1 1]
 [1 1 1]]

転置行列を計算する関数も、テンソルの形状を変更する関数の一つです。バックプロパゲーションでも転置行列を計算します。

#!/usr/bin/python
# -*- coding: utf-8 -*-

from autograd.variable import Variable
from autograd.function import Function

import numpy as np

def Main():
    x = Variable(np.array([
        [1, 2, 3],
        [4, 5, 6],
    ]))
    y = Transpose()(x)
    y.Backward()
    print(y)
    print(x.GetGrad())

class Transpose(Function):

    def Forward(self, x):
        y = np.transpose(x)
        return y

    def Backward(self, gy):
        gx = np.transpose(gy)
        return gx

if __name__ == '__main__':
    Main()

実行例

$ python3 main.py
Variable([[1 4]
          [2 5]
          [3 6]])
[[1 1 1]
 [1 1 1]]

テンソルの各要素の和を出力する関数も、テンソルの形状を変更する関数の一つです。バックプロパゲーションにおいては Add の実装と同様の考え方をします。逆伝搬されてきた勾配 gy を、値を変更せずに、記憶しておいた形状になるようにコピーします。

#!/usr/bin/python
# -*- coding: utf-8 -*-

from autograd.variable import Variable
from autograd.function import Function

import numpy as np

def Main():
    x = Variable(np.array([
        [1, 2, 3],
        [4, 5, 6],
    ]))
    y = Sum()(x)
    y.Backward()
    print(y)
    print(x.GetGrad())

class Sum(Function):

    def Forward(self, x):
        self.__xShape = x.shape
        y = x.sum()
        return y

    def Backward(self, gy):
        gx = np.broadcast_to(gy, self.__xShape)
        return gx

if __name__ == '__main__':
    Main()

実行例

$ python3 main.py
Variable(21)
[[1 1 1]
 [1 1 1]]

行列の積も、テンソルの形状を変更する関数の一つです。バックプロパゲーションが以下の実装になることは後述のとおりです。

#!/usr/bin/python
# -*- coding: utf-8 -*-

from autograd.variable import Variable
from autograd.function import Function

import numpy as np

def Main():
    x = Variable(np.random.randn(2, 3))
    w = Variable(np.random.randn(3, 4))
    y = MatMul()(x, w)
    y.Backward()
    print(y.GetData().shape)
    print(x.GetGrad().shape)
    print(w.GetGrad().shape)

class MatMul(Function):

    def Forward(self, x, w):
        y = x.dot(w)
        return y

    def Backward(self, gy):
        x, w = self.GetInputs()
        gx = gy.dot(w.GetData().T)
        gw = x.GetData().T.dot(gy)
        return gx, gw

if __name__ == '__main__':
    Main()

実行例

$ python3 main.py
(2, 4)
(2, 3)
(3, 4)

テンソルの形状を変更し、出力が複数のテンソルである関数の例

出力されるテンソルの個数が複数である関数の例として、例えば以下のようなものが考えられます。

#!/usr/bin/python
# -*- coding: utf-8 -*-

from autograd.variable import Variable
from autograd.function import Function

import numpy as np

def Main():
    x = Variable(np.array([
        [1, 2, 3],
        [4, 5, 6],
    ]))
    y, z = Separate()(x)
    w = y + z
    w.Backward()
    print(y)
    print(z)
    print(w)
    print(x.GetGrad())

class Separate(Function):

    def Forward(self, x):
        y = x[:1]
        z = x[1:]
        return y, z

    def Backward(self, gy0, gy1):
        gx = np.vstack((gy0, gy1))
        return gx

if __name__ == '__main__':
    Main()

実行例

$ python3 main.py
Variable([[1 2 3]])
Variable([[4 5 6]])
Variable([[5 7 9]])
[[1 1 1]
 [1 1 1]]

行列の積 MatMul について

$X$ は N x D 行列、 $W$ は D x H 行列であるとします。

X = \left( \begin{array}{ccc} x_{1,1} & ... & x_{1,D} \\ ... & ... & ... \\ x_{N,1} & ... & x_{N,D} \\ \end{array} \right)

W = \left( \begin{array}{ccc} w_{1,1} & ... & w_{1,H} \\ ... & ... & ... \\ w_{D,1} & ... & w_{D,H} \\ \end{array} \right)

このとき $Y = X W$ は N x H 行列です。

Y = X W = \left( \begin{array}{ccc} y_{1,1} & ... & y_{1,H} \\ ... & ... & ... \\ y_{N,1} & ... & y_{N,H} \\ \end{array} \right)

y_{i,j} = \sum_{k=1}^{D} x_{i,k} w_{k,j}

ここで、 $X$ と $W$ の関数である、あるスカラ値 $L (X, W)$ を考えます。 $L$ の偏微分は、連鎖律によって以下のように計算できます。

\frac{\partial L}{\partial x_{i,j}} = \sum_{k=1}^{N} \sum_{l=1}^{H} \frac{\partial L}{\partial y_{k,l}} \frac{\partial y_{k,l}}{\partial x_{i,j}}

ここで $Y = X W$ の要素に関する上述の式を $x_{i,j}$ で偏微分します。 $k = i$ 以外の場合は偏微分の結果が 0 になります。

\begin{aligned} \frac{\partial y_{k,l}}{\partial x_{i,j}} &= \sum_{m=1}^{D} \frac{\partial (x_{k,m} w_{m,l})}{\partial x_{i,j}} \\ &= \frac{\partial x_{k,j}}{\partial x_{i,j}} w_{j,l} \end{aligned}

これを先程の式に代入すると以下のようになります。

\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial x_{i,j}} &= \sum_{k=1}^{N} \sum_{l=1}^{H} \frac{\partial L}{\partial y_{k,l}} \frac{\partial x_{k,j}}{\partial x_{i,j}} w_{j,l} \\ &= \sum_{l=1}^{H} \frac{\partial L}{\partial y_{i,l}} w_{j,l} \\ \end{aligned}

これは以下の行列計算が成り立つことを意味しています。

\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial X} &= \left( \begin{array}{ccc} \frac{\partial L}{\partial x_{1,1}} & ... & \frac{\partial L}{\partial x_{1,D}} \\ ... & ... & ... \\ \frac{\partial L}{\partial x_{N,1}} & ... & \frac{\partial L}{\partial x_{N,D}} \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} \frac{\partial L}{\partial y_{1,1}} & ... & \frac{\partial L}{\partial y_{1,H}} \\ ... & ... & ... \\ \frac{\partial L}{\partial y_{N,1}} & ... & \frac{\partial L}{\partial y_{N,H}} \\ \end{array} \right) W^T \\ &= \frac{\partial L}{\partial Y} W^T \end{aligned}

$X$ と $W$ の対称性から、同様の考え方で、以下の行列計算も成り立つことが分かります。

\frac{\partial L}{\partial W} = X^T \frac{\partial L}{\partial Y}

MatMul のバックプロパゲーションでは、これら行列計算を実装しています。

class MatMul(Function):

    def Forward(self, x, w):
        y = x.dot(w)
        return y

    def Backward(self, gy):
        x, w = self.GetInputs()
        gx = gy.dot(w.GetData().T)
        gw = x.GetData().T.dot(gy)
        return gx, gw

ほっこりさん

博士課程学生です。電子工作はただの趣味です。

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